Grupos finitos e profinitos com pequenos sinks de Engel de p-elementos

Abstract

Estudamos grupos finitos e profinitos nos quais os sinks de Engel à esquerda de p-elementos têm cardinalidade limitada. Um sink à esquerda de Engel de um elemento g de um grupo G é um subconjunto que contém todos os comutadores suficientemente longos da forma [...[[x,g],g],...,g], com x ∈ G. Mostramos que, se p é um número primo e G é um grupo finito no qual todo p-elemento possui um sink de Engel com no máximo m elementos, então G possui um subgrupo normal N tal que G/N é um p ′ -grupo e o índice [N : Op(G)] é limitado em função de m apenas. No caso profinito, provamos que, se todo p-elemento possui um sink de Engel à esquerda finito, então existe um subgrupo normal N ⊴ G tal que N é virtualmente pro-p e G/N é pro-p ′ . As demonstrações utilizam técnicas da teoria de grupos finitos, como ações coprimas, séries de Fitting e argumentos estruturais clássicos, aprofundando resultados anteriores sobre grupos quase Engel e refinando abordagens desenvolvidas por Khukhro e Shumyatsky, agora com foco nos p-elementos.