Equações de difusão associadas a séries temporais estocásticas : Kramers-Moyal versus Fokker-Planck

Abstract

Equações de difusão são largamente utilizadas na obtenção de propriedades de séries temporais estocásticas. O objetivo principal deste trabalho é determinar os processos pelos quais uma equação de difusão deve ser modelada por uma expansão de Kramers-Moyal ou por uma equação de Fokker-Planck. Este estudo será feito através da utilização de funções características em sua forma canônica e da chamada função de Lévy, introduzida pelo matemático francês Paul Lévy para medir a distância de distribuições para uma gaussiana. Vericaremos como a convergência de distribuições de variáveis aleatórias influencia a escolha do tipo de equação difusiva a ser adotada. Veremos que os conceitos de auto-similiridade e continuidade em distribuição na análise de variáveis aleatórias são determinantes na obtenção das propriedades difusivas de um sistema estocástico. Em particular, estudaremos o movimento Browniano modelado por mapas lineares com ruído aleatório. Daremos bastante ênfase ao papel do ruído ao mostrar, analiticamente e computacionalmente, que sua forma influi no tipo de difusão apresentado pelo sistema. Como perspectiva de trabalho, enfocaremos a possibilidade de utilização de equações difusivas na modelagem de séries financeiras. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Diffusion equations are widely used to obtain properties of stochastic time series. The main goal of this work is to determine the processes by which a diffusion equation can be modeled by a Kramers-Moyal expansion or by a Fokker-Planck equation. This study will be done through the use of characteristic functions in its canonical form and the so-called Lévy function, introduced by French mathematician Paul Lévy to measure the distance of distributions from the Gaussian. We will show how the convergence of random variables distributions affects the choice of diffusive equation to be adopted. We will see how the concepts of self-similarity and continuity in distribution in the random variables' analysis are crucial to obtain the diffusive properties of a stochastic system. In particular, we will study the Brownian motion modeled by linear maps with random noise. We will rather focus on the role of noise to show, analytically and computationally, that its form affects the type of diffusion presented by the system. As work perspective, we will focus the use of diffusive equations for modeling financial series.