A natural constraint for solving Schrödinger equations with G-symmetry and general nonlinearities

Abstract

Neste trabalho, consideramos dois problemas. No primeiro capítulo, estabelecemos a existência de uma solução positiva para a equação não linear de Schrödinger − ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ D1,2 (R N ), N ≥ 3, (℘1) com potencial V que é invariante sob uma ação de grupo G ⊂ O(N), onde O(N) é o grupo de transformações ortogonais, e decai para zero no infinito, com uma taxa apropriada, aproximando-se da equação de campo escalar limite do tipo massa zero; e a não linearidade f, sob suposições muito suaves, é assintoticamente linear ou superlinear e subcrítica no infinito, não satisfazendo nenhuma condição de monotonicidade. Nós lidamos tanto com ações de grupos finitos quanto com ações de grupos infinitos. No segundo capítulo, estudamos a existência de uma solução positiva para uma equação não linear de Schrödinger − ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ H 1 (R N ), N ≥ 3, (℘2) onde o potencial V é uma função positiva, invariante sob uma ação de grupo G ⊂ O(N), que decai para um potencial constante positivo V∞ no infinito. Como no primeiro problema, a não linearidade f, sob suposições muito suaves, é assintoticamente linear ou superlinear e subcrítica no infinito, não satisfazendo nenhuma condição de monotonicidade. Em ambos os problemas a existência de solução da equação é estabelecida em situações onde o nível mínimo de energia não pode ser obtido, usando a composição de dois sólitons transladados e sua projeção na chamada variedade de Pohozaev. No entanto, ao final de cada capítulo, justificamos que o método aplicado também é válido para qualquer composição finita desses sólitons.