Integrabilidade na gravitação bidimensional

Abstract

Modelos bidimensionais de gravitação surgem naturalmente na descrição de diversos fenômenos físicos. Grande parte desses modelos visam entender o processo de criação do Universo no cenário pré Big-Bang, provendo também testes não-triviais no contexto da teoria quântica de campos. A gravitação bidimensional acoplada com o campo dilaton (G2dD) vem sendo bastante estudada. Ela se mostra como um sistema integrável na teoria clássica, assim, a estruturação da integrabilidade nos possibilita entender as soluções clássicas não-perturbativas e assim proceder com as quantização. A G2dD é bastante similar com o modelo sigma não linear (SNL), que também é integrável. No entanto, diferente da G2dD, o SNL não é quantizável usando a teoria de sistemas integráveis - isso ocorre graças ao comportamento ambíguo entre os parênteses de Poisson de suas matrizes de monodromia, que codificam todas as informações do modelo integrável. Recentemente, um interessante modelo da gravitação quântica foi proposta por Ho\v{r}ava. Esse modelo, chamado de Horava-Lifshitz (HL), vem sendo extensivamente estudado e explorado no meio científico. Ele propõe alterações na gravitação de Einstein de forma que a mesma seja renormalizável e, consequentemente, quantizável. Para ser uma teoria coerente, a HL deve tender a relatividade padrão de Einstein nos limites de baixas energias. Outro fato importante é que para altas energias a HL se transforma numa teoria bidimensional efetiva. Utilizando o HL como uma motivação, estudamos a gravitação bidimensional através do formalismo da Integrabilidade. Calculamos os parênteses de Poisson entre as matrizes de monodromia do modelo principal do campo quiral (PCM), que é um tipo de SNL bidimensional, e obtivemos a ambiguidade dessa estrutura. O mesmo foi feito para a G2dD, cujo resultado foi único e viável. Comparamos então as características e peculiaridades entre o PCM e a G2dD e observamos o papel fundamental que o dilaton possui: viabilizar a estrutura de Poisson, tornando o modelo quantizável pelo formalismo da integrabilidade. Visando tornar o trabalho acessível a todo público interessado nessa área da Física, fizemos uma revisão sobre grande parte dos pontos cruciais da teoria que são importantes para o entendimento do nosso resultado. Achamos necessário também preencher nosso trabalho com muita álgebra, levando em consideração o número elevado de pontos sutis. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

Two-dimensional models of gravitation arise naturally in the description of various physical phenomena. Most of these models aim to understand the process of creating the universe in the pre-Big Bang scenario, as well as provide various non-trivial tests in the context of the quantum eld theory. The two-dimensional gravity coupled with dilaton eld (G2dD) has been a subject of intense research in the recent years. It has integrable structure in the classical theory, and, therefore, allows one to understand both the classical non-perturbative solutions, as well as proceed with the quantization of the model. The G2dD has a similar to the nonlinear sigma model (SNL) structure, which is also integrable on the classical level. However, unlike G2dD, SNL is not quantizable easily using the theory of integrable systems - this is due to the ambiguous behavior of the algebra of the monodromy matrices, which encode the complete information of integrable structure. Recently, an interesting model of quantum gravity has been proposed by Ho rava. This model, called Ho rava-Lifshitz (HL), has been extensively studied and explored in the scienti c community in the last few years. He proposed changes in Einstein's gravitation theory so that it is renormalizable and therefore makes sense in the context of the quantum eld theory. To be a coherent theory, HL must tend to the standard Einstein's relativity in the low-energy limits, and one of the consequences of the HL theory is the important feature that for high energies HL becomes e ectively a two-dimensional theory. Using the HL as a motivation, we study two-dimensional gravitation utilizing the formalism of integrability. We calculate the Poisson brackets between monodromy matrices of the principal chiral model(PCM), which is a type of two-dimensional SNL, and show how the ambiguity of this structure appears. The same is done for G2dD, where we show that the ambiguity is removed, and the result is unique and well-de ned. We then compare the characteristics and peculiarities between the PCM and G2dD and note the key role played by the dilaton eld, due to which the Poisson structure becomes regularized, making the model quantizable in the framework of integrable models. Aiming to make the work accessible to everyone interested in this area of physics, we review in details most of the crucial points, that are important for understanding of our results, and include various non-trivial calculations explicitly, which should be especially useful for interested students.