A influência de comutadores na estrutura de grupos finitos

Abstract

Seja $x$ um elemento de um grupo $G$. Denotamos por $B_x(G)$ o conjunto de comutadores da forma $a^{-1}x^{-1}ab^{-1}xb$, e por $K_x(G)$ o conjunto de comutadores da forma $x^{-1}b^{-1}xb$, onde $a,b \in G$. Em particular, $K_x(G) \subseteq B_x(G)$. Sabe-se que $B_x(G)$ é um subconjunto normal de $G$, enquanto $K_x(G)$, em geral, não possui essa propriedade. O objetivo deste trabalho é investigar a influência desses subconjuntos sobre a estrutura do grupo. Os principais resultados obtidos estão relacionados à solubilidade, à nilpotência, à propriedade da torre de Sylow e aos $p$-grupos finitos.