Métodos de aproximação para o Problema de Dirichlet envolvendo o Operador de Schrödinger e dado em medida

Abstract

Nesta tese apresentamos uma vis˜ao geral e novos resultados relacionados a um problema com operador de Schr¨odinger el´ıptico e dados em medida de Borel. Introduzimos dois m´etodos de aproxima¸c˜ao para esse problema de Schr¨odinger; no primeiro, apresentamos uma t´ecnica de aproxima¸c˜ao no potencial de Schr¨odinger, que leva `a medida reduzida e, consequentemente, a uma subsolu¸c˜ao maximal do problema; enquanto, no segundo m´etodo, introduzimos uma t´ecnica de aproxima¸c˜ao no dado da medida de Borel que possibilita a introdu¸c˜ao do conceito de limite reduzido. Em seguida, provamos propriedades de monotonicidade e semicontinuidade inferior do limite reduzido, em fun¸c˜ao dos conjuntos de tors˜ao zero e zero universal. Como consequˆencia, mostramos a existˆencia de uma solu¸c˜ao (limite reduzido) e a ocorrˆencia do fenˆomeno de Lavrentiev para um problema de controle optimal. As principais ferramentas usadas s˜ao de Teoria Geom´etrica da Medida e Teoria do Potencial.