Existência e multiplicidade de soluções de um problema elíptico superlinear indefinido

Abstract

Consideramos o problema semilinear -∆u+m(x)u = a (x) f (u) em um domínio suave limitado Ω∁RN; sob as condições de Neumann na fronteira, quando a ∈ C(Ω) troca de sinal eDigite a equação aqui.m e f : R ! R possui crescimento superlinear subcrítico. Os resultados estão baseados no primeiro autovalor do operador- ∆ + m; sob as mesmas condições de fronteira. Inicialmente, utilizando o método de minimização com vínculo, estabelecemos a existência de uma solução positiva para o problema superlinear homogêneo no caso de perturbações adequadas do potencial m: Posteriormente, aplicamos o método de minimax e a teoria de Morse em dimensão infinita para demonstrar que o problema não homogêneo possui pelo menos três soluções não triviais. Um resultado de existência de três soluções para o problema perturbado também é apresentado. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT

We consider the semilinear problem -∆u+m(x)u = a (x) f (u) on a bounded smooth domain Ω∁RN; under Neumann boundary conditions, when a ∈ C(Ω)changes sign in and f : R ! R has superlinear and subcritical growth. The results are based on the first eigenvalue for the operator ∆ + m; under the same boundary conditions. Initially, using the constrained minimization method, we establish the existence of a positive solution for the homogeneous superlinear problem when we have a suitable perturbation of the potential function m: Posteriorly, applying the minimax method and the infinite dimensional Morse theory, we establish the existence of at least three nontrivial solutions for the nonhomogeneous problem. A result concerning the existence of three solution for the perturbed problem is also presented.