Teoremas de rigidez tipo-bernstein e a estrutura de subvariedades com curvatura média constante

Abstract

Seja M uma subvariedade imersa, completa e mínima de R n+m. Neste trabalho provamos que, sob certas condições sobre o crescimento da norma em L2 do comprimento da segunda forma fundamental, temos que M é um plano afim. Fazemos isso de duas maneiras distintas. Consideramos primeiro o caso em que M é super-estável e tem fibrado normal plano. Após, estudamos o caso em que M tem fibrado normal arbitrário e satisfaz uma desigualdade tipo-estabilidade. Resultados similares são obtidos quando M tem curvatura média constante. Na segunda parte deste trabalho analisamos a estrutura de subvariedades com curvatura média constante segundo a parabolicidade ou não-parabolicidade dos seus fins. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let Mn be a complete immersed minimal submanifold in Rn+d. In this work we prove under some condition on the growth in the L2 norm of the length of its second fundamental form that M is an a ne plane. This is done in two di erent ways. We consider rst the case when M is super stable and has at normal bundle. After that, we study the case when M has arbitrary normal bundle and satisfy some stability-type inequalities. Similar results are also proved when M has constant mean curvature. In the second part of this work we study the structure of constant mean curvature submanifolds by means of the parabolicity or nonparabolicity of its ends.