On isoparametric hypersurfaces in 4-dimensional product spaces

Abstract

Neste trabalho, estudamos hipersuperfícies isoparamétricas em variedadesproduto de dimensão 4. Primeiramente, caracterizamos e classificamos as hipersuperfíciesisoparamétricas com curvaturas principais constantes nos espaços produto Q c1 x Q c2 , emque Q ci é uma forma espacial com curvatura seccional constante ci, para ci {-1,0,1} e c1 c2.Mostramos que tais hipersuperfícies são dadas por conjuntos abertos de umahipersuperfície produto, em que um dos fatores é uma curva de curvatura constante, ou deuma estrutura diagonal em H 2 x R 2 , construída a partir de horocírculos em H 2 e retas em R 2 .Em seguida, classificamos as hipersuperfícies em Q 3 x R que possuem as três curvaturasprincipais constantes distintas, em que neste caso . Mostramos que tais hipersuperfíciessão cilindros sobre superfícies isoparamétricas de Q 3 com duas curvaturas principaisdistintas e não-nulas. Também provamos que as hipersuperfícies com curvaturas principaisconstantes em Q 3 x R são isoparamétricas. Além disso, fornecemos uma condiçãonecessária e suficiente para uma hipersuperfície isoparamétrica em Q 3 x R ter curvaturasprincipais constantes.Finalmente, descrevemos a evolução pelo fluxo da curvatura média de hipersuperfíciesisoparamétricas em variedades produto de dimensão 4. Mostramos que a evolução dehipersuperfícies isoparamétricas de variedades Riemannianas pelo fluxo da curvatura médiaé dada por uma reparametrização do fluxo por hipersuperfícies paralelas em um curtoespaço de tempo, desde que a unicidade do fluxo de curvatura média seja válida para osdados iniciais e o espaço ambiente correspondente. Através deste resultado, descrevemosa evolução das hipersuperfícies classificadas na primeira e segunda partes do trabalho.Também descrevemos as evoluções de hipersuperfícies isoparamétricas em S 2 xS 2 e H 2 xH 2 ,classificadas por Urbano (2019) e Dong Gao, Hui Ma e Zeke Yao (2022), respectivamente,e das hipersuperfícies isoparamétricas em Q 3 x R com g curvaturas principais constantesdistintas, g {1,2}, classificadas por Chaves e Santos (2019).