Um estudo sobre as soluções de um problema elíptico com crescimento crítico no gradiente

Abstract

Neste trabalho, estudamos as soluções do problema −∆u = c(x)u + µ(x)|∇u| 2 + f(x), u ∈ H 1 0 (Ω) ∩ L ∞(Ω), em que Ω é um domínio limitado de R N , N ≥ 3, µ ∈ L ∞(Ω) e c, f ∈ L q (Ω), para algum q > N 2 . Inicialmente, baseados no artigo de Jeanjean e Quoirin (2016), supondo que c pode trocar de sinal, c + não identicamente nula, f ≩ 0 e µ é uma constante positiva, utilizamos um argumento de semicontinuidade inferior e o Teorema do Passo da Montanha para encontrarmos duas soluções distintas para o problema. A seguir, baseados nos artigos de De Coster e Fernández (2018), (2020), supondo que c ≤ 0 e µ é uma constante positiva, encontramos uma condição necessária e suficiente para que o problema possua solução. Por fim, usamos o método de sub e supersolução para mostrarmos que a existência de solução se mantém quando µ ∈ L ∞(Ω).