On the maximal eigenspace of the Ruelle Operator

Abstract

Nesta tese de doutorado analisamos os dados espectrais do operador de Ruelle L e de sua extensão ao espaço L 1 (ν), aqui denotada por L. Para tal, nossa abordagem principal é a teoria L 1 de processos de Markov introduzida por Eberhard Hopf. Essa técnica nos provê de ferramentas suficientes para extrair informações sobre o autoespaço maximal do operador, mesmo para potenciais com baixa regularidade, ainda que apresentem transição de fase. A teoria desenvolvida aqui abrange alfabetos métricos compactos. Nesse contexto, e para um potencial contínuo arbitrário, mostramos que o autoespaço associado ao raio espectral é no máximo unidimensional e, quando há uma autofunção maximal contínua, ela tem sinal definido. A validade dessas propriedades era sabida para alfabetos finitos ou potenciais em algumas classes de regularidade, como aqueles satisfazendo as hipóteses do Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius. Mostramos que essas propriedades são consequência apenas da positividade do operador e do suporte total das automedidas, não dependendo da finitude do alfabeto ou da regularidade do potencial. Sobre a extensão L do operador de Ruelle L ao espaço L 1 (ν), especificamos quais são as condições necessárias para se ter um operador em L 1 (ν) bem definido. Quando a medida ν é uma medida conforme (automedida maximal), provamos que ν é totalmente suportada se e somente se a medida a priori é totalmente suportada. Nesse caso, demonstramos que o autoespaço maximal do operador extendido tem dimensão limitada superiormente pelo número de medidas extremais cuja combinação convexa gera ν. Isso nos dá um novo critério para detectar transição de fase, já que um autoespaço maximal multidimensional só pode aparecer se existirem múltiplas medidas extremais. Também construímos um exemplo, inspirado no modelo de Currie-Weiss, que apresenta transição de fase e cujo autoespaço maximal é bidimensional.