Contagem de semigrupos numéricos de mesmo gênero por meio de Gapsets

Abstract

O principal objetivo do presente trabalho é estudar o comportamento dos semigrupos numéricos com profundidade q ≤ 3 e gênero fixado por meio das características do conjunto de suas lacunas (gapsets). Em 2008, Maria Bras-Amorós [1] apresentou três conjecturas sobre semigrupos numéricos, quais sejam: 1) O número de semigrupos numéricos de gênero g fixado, denotado por ng, satifaz a seguinte relação para todo g ≥ 2, ng ≥ ng−1 + ng−2; 2) lim g→∞ ng/ng−1 = ϕ, em que ϕ é a razão áurea; e 3) lim g→∞ (ng−1 + ng−2)/ng = 1. Zhai [2] demonstrou que as duas últimas conjecturas realmente procedem usando o fato de que a maioria dos semigrupos numéricos de gênero fixado são tais que q ≤ 3. A primeira conjectura segue em aberto. Mesmo uma versão mais fraca dela, ng ≥ ng−1, ainda não foi provada (Zhai [2] demonstrou que essa desigualdade vale para gêneros suficientemente grandes). No presente trabalho, vamos apresentar os principais resultados de Eliahou e Fromentin [3] para o caso em que q ≤ 3. Esses autores demonstraram, entre outras coisas, que a primeira conjectura de Bras-Amorós vale quando são considerados apenas os semigrupos com q ≤ 3. Esse resultado permite avançar na busca pela demonstração da conjectura e amplia os horizontes dessa área da Teoria dos Números.