Operações entrelaçadas no grupo de automorfismos da árvore binária

Abstract

Estudaremos uma operação estabelecida por Brunner e Sidki, denominada tree-wreathing, que é definida sobre os subgrupos He(r) e K(r) do grupo de automorfismos da árvore binária, onde He(r) e K(r) são cópias específicas construídas a partir do grupo H que age na árvore binária e do grupo abeliano livre K de posto r. O produto tree-wreath G dos grupos He(r) e K(r) admite um subgrupo normal N tal que G/N é isomorfo a H ≀ K, neste sentido, o produto tree-wreath generaliza o produto entrelaçado H ≀K. Para o caso onde H é abeliano, a operação produz uma representação fiel de H ≀K no grupo de automorfismos da árvore binária. Além disso, a operação tree-wreathing preserva propriedades tais como solubilidade, finitude do número de estados e ser livre de torção. Por fim, obtemos uma representação fiel do grupo metabeliano livre de posto arbitrário no grupo de automorfismos da árvore binária como um subgrupo de automorfismos de estado-finito.