Rigidity theorems for submanifolds and GQY-manifolds

Abstract

Usando uma inequação do tipo Kato e Simons para uma subvariedade mínima n-dimensional de H^(n+m),obtemos condições necessárias para que uma subvariedade completa mínima imersa em H^(n+m)seja totalmente geodésicae usando uma inequação de Simons mostramos, sobe certas condições, que uma hipersuperficie não compacta completa imersa curvatura média constante seja totalmente umbilical. SeM é uma hipersuperfi ceiem n -Hdi^m(ne+n1s)ioconmal complete tipo espaçoestá imersa em M_1^(n+1) (c), ondec = {-1,0,1}, usando a normaL^ddo tensor traço livre da segunda forma fundamental e o primeiro auto valor de M, então M é isométrico a H^n (c-h^2 ), onde hé a curvatura média de M. Tomando uma variedade generalizada quasi-Yamabe(GQY-variedade), em certas direções para∇μ, temos∇μconstante.Finalmente, considerando〖(M〗^(n+1),f,g')=M^(n+1)×R_f, o produto torcido de M com R, o espaço tempo estático, onde 〖(M〗^n,g),n≥3, é uma variedade Riemanniana não compacta, conexa e orientável,usando a equação de Einstein com fluido perfeito mostramos que a densidade de energia de M é zero. Usando técnicas conhecidas damos uma estimativa para o crescimento de bolas geodésicas e a validade do princípio do máximo fraco nestes espaços.