Centralizadores em grupos localmente finitos

Abstract

Seja G um grupo localmente finito. Estudamos as influências de propriedades dos centralizadores sobre a estrutura do grupo G. Obtemos os seguintes resultados: 1. Seja G um grupo localmente finito contendo um subgrupo não cíclico V de ordem quatro tal que CG(V ) é finito e CG(?) tem expoente finito para algum ? V. Demonstramos que [G; ?]? tem expoente finito. Isto permite-nos deduzir que G tem uma série normal 1 ≤ G1 ≤ G2 ≤ G3 ≤ G tal que G1 e G/G2 têm expoente finito enquanto que G2/G1 é abeliano. Além disso, G3 é hiperabeliano e tem índice finito em G. 2. Seja A um grupo isomorfo ao grupo S4, o grupo simétrico de quatro símbolos. Seja V o subgrupo normal de ordem quatro em A e escolhemos uma involução ? A\V. O 2-subgrupo de Sylow D de A é V (?) i e este é isomorfo ao grupo diedral de ordem 8. Demonstramos que se G é um grupo localmente finito contendo um subgrupo isomorfo a D tal que CG(V ) é finito e CG(?) tem expoente finito, então [G;D]? tem expoente finito. Se G é um grupo localmente finito contendo um subgrupo isomorfo a A tal que CG(V ) é finito e CG(?) tem expoente finito, então G tem expoente finito. ______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let G be a locally finite group. In this work we study the influences of the properties of the centralizers over structures of G. We obtain the following results: 1. Let G be a locally finite group which contains a non-cyclic subgroup V of order four such that CG(V ) is finite and CG(?) has finite exponent for some ? V. We show that [G; ?]? has finite exponent. This enables us to deduce that G has a normal series 1 ≤ G1 ≤ G2 ≤ G3 ≤ G such that G1 and G/G2 have finite exponents while G2/G1 is abelian. Moreover, G3 is hyperabelian and has finite index in G. 2. Let A stand for the group isomorphic with S4, the symmetric group on four symbols. Let V be the normal subgroup of order four in A and choose an involution ? A\V . The Sylow 2-subgroup D of A is V ( ?) and this is isomorphic with the dihedral group of order 8. We prove that if G is a locally finite group containing a subgroup isomorphic with D such that CG(V ) is finite and CG(?) has finite exponent, then [G;D]? has finite exponent. If G is a locally finite group containing a subgroup isomorphic with A such that CG(V ) is finite and CG(?) has finite exponent, then G has finite exponent.