Solução numérica massivamente paralela de problemas potenciais utilizando o método dos elementos de contorno

Abstract

Um problema potencial pode ser caracterizado como um problema da natureza cuja solução pode ser obtida através da Equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem. A presença de problemas potenciais na natureza fez com que fosse desenvolvida uma área de pesquisa dedicada ao seu estudo. Em problemas de múltiplas dimensões o tratamento analítico pode ser inviável, sendo assim, é comum o uso de modelagem numérica a fim de obter suas soluções. Existem diversos modelos numéricos capazes de resolver a Equação de Laplace, dentre eles estão o Método dos Elementos Finitos (MEF), Método dos Volumes Finitos (MVF), Método das Diferenças Finitas (MDF) e Método dos Elementos de Contorno (MEC). Dentre os métodos citados, o MEC é o mais recente, e atualmente está sendo muito utilizado na resolução de problemas de grandes dimensões e de domínios semi-infinitos. O MEC utiliza uma formulação matemática baseada no Teorema de Green a fim de reduzir uma dimensão do problema. Assim, é possível obter um ganho no custo compu- tacional, apesar do esforço matemático ser maior. Apesar do ganho obtido, as matrizes geradas pelo método são cheias e não-simétricas, fazendo com que o custo computacional ainda seja elevado. Devido à crescente exigência dos usuários de computadores no quesito qualidade grá- fica, as fabricantes desse tipo de hardware se viram forçadas a desenvolver novas tecnolo- gias capazes de suprir essa demanda, surgindo assim, as placas gráficas com processadores e memórias dedicadas. Este tipo de hardware chamou a atenção da comunidade científica por ser paralelo por natureza, sendo capaz de obter um desempenho comparado a um supercomputador. Opresentetrabalhovisaaimplementaçãodeumabibliotecaparalelaadaptadaa estrutura de placas gráficas para resolução de sistemas de equações lineares obtidos a partir da discretização de problemas potenciais com o MEC, utilizando a linguagem de programação OpenCL, a fim de avaliar a viabilidade de seu uso em ambiente híbrido, ou seja, contendo uma ou mais Central Processing Units (CPUs) e Graphics Processing Units (GPUs). A implementação foi validada, sendo aplicada ao problema de um fluido potencial em torno de um cilindro circular impenetrável e diversas técnicas de otimização do algoritmo foram avaliadas de forma a fornecer uma base de conhecimento para futuros trabalhos que venham utilizar GPUs. Os resultados mostram que uma implementação do método iterativo de Jacobi, que é utilizado na resolução de sistemas lineares, com paralelização trivial, semelhante ao pro- blema de N-Corpos (N-Body), não oferece um desempenho expressivo que justifique o uso de computação massivamente paralela, por outro lado, utilizando as técnicas de otimiza- ções apresentadas, é possível obter um ganho de até 5.5 vezes em relação ao algoritmo serial. Além disso, o trabalho aponta limitações na alocação de memória disponibilizada pela implementação OpenCL da fabricante AMD ATI. _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

A potential problem could be defined as a nature problem that satisfies The Laplace’s Equation, that is, a second order differential equation. The significant presence of po- tential problems in nature made it necessary to develop a research area dedicated to its study. This kind of problem can be solved using Laplace’s Equation as a tool, a partial second order differential equation. Analytical approaches may be impractical for higher dimensions, so it is common to use numerical modeling to obtain solutions. There are many numerical models capable of solving Laplace’s Equations, among them the Finite element method (FEM), Finite Volume Method (FVM), Finite Difference method (FDM) and the Boundary Element Method (BEM). Among these, the BEM is the most recent and is currently being used for higher dimensions and semi-infinite domain problems. The BEM uses a mathematical formulation based on Green’s Theorem to reduce one dimension of the problem, and as such, makes it possible to obtain computational gain, in spite of the higher mathematical efforts. A side effect of this gain is that the generated matrices are full and asymmetrical, making the computational cost to be still high. Computer user’s demand for higher quality graphics push manufactures to develop new technologies, suck as discrete graphic boards with dedicates processors an memory. This kind of hardware drew attention from the scientific community for its parallel nature being capable of performing Teraflop order of magnitude calculations for single precision math and Gigaflops order of magnitude calculations for double precision. This works intends to implement a parallel library using the BEM on graphic boards using the OpenCL programming language, to evaluate the viability of a hybrid (CPU and GPU) environment. The implementation was validated by being applied to a po- tential fluid around a solid cylinder and many algorithm optimization techniques was implemented to create a knowledge base to futures works using GPUs. The results show that an implementation of Jacobi’s iterative method, normally used on linear system solving, and a trivial parallelization similar to the one used on the N-Body solution does not show an expressive performance to justify massive parallel computing,due to the high number of memory accesses. Although, using the suggested optimization techniques, it is possible to reach a 5.5 gain when compared the same algorithm running serially.