Análise e modelagem de ondas não lineares em dinâmica dos gases

Abstract

A presente dissertação tem como foco o estudo, do ponto de vista teórico, da dinâmica de gases compressíveis de alta freqüência, em que os efeitos dissipativos associados ao segundo coeficiente de viscosidade (ou viscosidade expansional) tornam-se relevante. O problema de escoamento foi formulado para o caso unidimensional e transiente, associado a um modelo de fluido barotropico. Um ponto inovador da dissertação refere-se ao fato que, mesmo em regime de escoamento inviscido, existe um mecanismo difusivo representado por um termo associado com dissipação expansional que transforma a equação de Euler padrão de primeira ordem em uma equação de segunda ordem do tipo Burgers. As equações governantes foram adimensionalizadas e um novo parâmetro físico denominado numero de Reynolds expansional identificado. Este parâmetro e dependente da freqüência da onda, do tempo de relaxação do escoamento e da razão dos números de Mach avaliados em condições de equilíbrio e numa condição arbitraria de não-equilibrio do escoamento. O comportamento do sistema de equações governantes obtido foi examinado por meio de varias analises, e foram encontradas soluções analiticas tipicas, soluções assintóticas, além de uma proposta de solução baseada em reescalas de variáveis do problema, levando a uma solução por similaridade similar _a de problemas parabólicos de camada limite. Desenvolve-se, também, uma analise de estabilidade linear do escoamento e encontrou-se um critério para o numero de Reynolds expansional que determina quando o termo difusivo compressional atenua amplitudes de ondas de alta freqüência. Um outro objetivo deste trabalho _e desenvolver uma metodologia numérica para solução do sistema de equações governantes em regimes não-lineares de propagação de ondas.viiiA implementação numérica do termo difusivo, relativo _a viscosidade expansional, foi feita através de uma modificação do método das características. Esta metodologia modificada permitiu o tratamento do sistema fracamente parabólico por uma técnica computacional tópica de sistemas hiperbólicos. Simulações computacionais do escoamento barotropico examinado são realizadas para diferentes números de Reynolds expansional e foi possível construir um diagrama de estabilidade que estabelece a existência do choque na solução em função do numero de Reynolds expansional e da razão de números de Mach para uma dada condição inicial de onda. O método das características modificado, segundo a proposta desta dissertação, mostra-se com um ótimo desempenho, sendo os resultados numéricos obtidos validados pelas soluções analíticas e numéricas da equação de Burgers e com os resultados da analise de estabilidade linear desenvolvidos na primeira etapa da dissertação. _____________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

This dissertation focuses on the theoretical study of compressible gas of high frequency in which the second coefficient of viscosity (also known as expansion viscosity) is relevant. The flow problem is formulated considering the transient one-dimensional case for a barotropic fluid. An innovative point of the dissertation refers to the fact that, even in an inviscid flow regime, there is a diffusive mechanism associated with the expansion dissipation that transforms the standard _first order Euler's equation into a second-order Burgers type equation. The governing equations were made dimensionless and a new physical parameter, the expansion Reynolds number, was identified. This parameter is dependent on the frequency of the initial condition, the relaxation time and the ratio of the flow Mach numbers are measured under equilibrium conditions and at an arbitrary condition of non-equilibrium flow. The behavior of the governing equations was examined through various analyses, and typical analytical and asymptotic solutions were found, as well as a solution based on re-scaled variables of the problem, leading to a similarity solution similar to those occurring in parabolic boundary layer problems. Furthermore, a linear stability analysis is developed, and a criterion for the expansion Reynolds number that determines the conditions under which the new compressional diffusive term attenuates the amplitude of high waves frequency was established. Another aim was to develop a numerical methodology for solving the system of equations governing the nonlinear wave propagation regime. The numerical implementation of the diffusive term, related to the expansion viscosity, was developed through a modification of the method of characteristics. This modified methodology allowed the treatment of the x weakly parabolic system of equations through a typical hyperbolic computational method. Simulations were performed for different expansion Reynolds numbers, allowing the construction of a stability diagram that establishes the existence of shocks as a function of the expansion Reynolds number and the Mach numbers ratio for a given initial condition. The modified method of characteristics, according to the proposal of this dissertation, is efficient, and the numerical results were validated through numerical and analytical solutions of the Burgers equation and through the results of linear stability analysis developed in the first stage of the dissertation.