Teorema de imersão de Nash aplicado ao estudo do Wormhole atravessável

Abstract

O principal objetivo dessa dissertação é apresentar um estudo sobre as características geométricasde um buraco de minhoca atravessável além de uma nova abordagem para o estudo do problemade violação da condição de energia nula (CEN). Tradicionalmente, a análise da solução do buracode minhoca é feita apenas com base na Geometria Riemanniana, isto é, usando-se apenas as propriedadesintrínsecas do espaço-tempo. Contudo, o buraco de minhoca é uma alteração topológicado espaço-tempo e como consequência um estudo puramente intrínseco é incapaz de descreverplenamente as qualidades que caracterizam um buraco de minhoca atravessável.Esse problema pode ser contornado ao se considerar a imersão do espaço-tempo em um espaçomaior de forma a permitir a análise dos elementos extrínsecos da geometria de um buraco de minhocaatravessável. Na física gravitacional, existem programas de pesquisa que descrevem espaçostempoimersos. Contudo, tais programas usualmente falham em dar um tratamento matemáticoadequado ao problema da imersão. Como consequência, eles precisam recorrer a um número signi_cativo de postulados para conseguirem descrever a dinâmica do espaço-tempo imerso.A imersão é um teorema matemático cuja prova mais geral foi dada por John Nash usando adeformação de variedades. Usamos o teorema de imersão de Nash para analisar uma classe geralde soluções de buracos de minhoca. O teorema de Nash se fundamenta na deformação de umavariedade imersa, de_nida pela curvatura extrínseca. Isto é, ele descreve como a geometria sepropaga nas dimensões extras do espaço de imersão, sem apelar para _utuações quânticas paraexplicar a alteração topológica responsável pelo buraco de minhoca. No teorema de Nash, asalterações topológicas surgem naturalmente e classicamente.A imersão do espaço-tempo é feita em uma variedade plana de 5 dimensões e como resultadoobtém-se equações de campo que descrevem a dinâmica gravitacional do espaço-tempo imerso.Essas equações são as mesmas equações de campo da R.G com um termo adicional, o tensordeformação que incorpora as informações extrínsecas da geometria.Finalmente, analisamos o caso do buraco de minhoca atravessável como proposto por Morris eThorne. Para tal consideramos a região do espaço-tempo com potencial constante. Nesse cenário,a dinâmica dos elementos extrínsecos permite gerar um buraco de minhoca atravessável sem anecessidade de uma matéria exótica. Contudo, o buraco de minhoca é destruído por qualquermatéria que tente atravessá-lo. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT

The main goal of this dissertation is to present a study on the geometric characteristics of atraversable wormhole and a new approach to studying the problem of violation of the null energycondition (NEC). Traditionally, the analysis of the wormhole solution is based only on Riemanniangeometry, ie, using just the intrinsic properties of spacetime. However, a wormhole is a topologicalchange of spacetime and therefore a purely intrinsic study is unable to fully describe the qualitiesthat characterize a traversable wormhole.This problem can be approached in a di_erent way by considering the embedding of spacetimein a higher dimensional space to allow the analysis of extrinsic elements in a wormhole's geometry.In gravitational physics, there are researches describing embedded spacetime. However, theseresearches usually fail to give an appropriate mathematical treatment of the embedding problem.Consequently, they have to rely on a signi_cant number of assumptions to get to describe thedynamics of an embedding spacetime.An embedding is a mathematical theorem whose proof was given more generally by JohnNash using the deformation of manifolds. We use the Nash's embedding theorem to analyze ageneral class of solutions wormholes. Nash's theorem is based on a deformation of the embeddedmanifold, de_ned by the extrinsic curvature. That is, it describes how the geometry propagatesin extra dimensions without appealing to quantum _uctuations to explain the change topologicalresponsible for the wormhole.Spacetime is embedded in a _at 5-dimensional space and as a result one obtains _eld equationsdescribing the gravitational dynamics of that spacetime. These equations are the same _eld equationsof GR with an additional term, the deformation tensor which incorporates the informationof the extrinsic geometry.Finally, we analyze the case of traversable wormhole as proposed by Morris and Thorne. Forthis purpose we consider a region of spacetime described by a constant potential. In this scenario,the dynamics of extrinsic factors allow us to generate a wormhole traversable without the need forexotic matter but it is destroyed by any matter that attempts to cross the neck.