Translation and homogeneous surfaces in homogeneous 3-spaces

Abstract

Neste trabalho consideramos superfícies em espaços homogêneos tridimensionais, com foco em superfícies de translação e superfícies extrinsecamente homogêneas. Inicialmente, apresentamos uma classificação de superfícies mínimas, solitons de translação e solitons conformes como superfícies de translação no espaço hiperbólico, considerando o caso em que uma curva está contida em uma horosfera e a outra, em um plano hiperbólico totalmente geodésico. Para esse cenário, demonstramos a rigidez das três classes, no sentido de que as superfícies resultantes se reduzem a casos conhecidos na literatura, como planos hiperbólicos e cilindros catenários no caso das superfícies mínimas. Para os solitons, além dos planos e das horosferas, identificamos também os exemplos clássicos da literatura, como os cilindros do tipo "grim reaper". Para superfícies na esfera, investigamos as superfícies de translação quanto à curvatura gaussiana e à curvatura média constantes. Nossos resultados demonstram que não existem superfícies totalmente geodésicas e totalmente umbílicas que também sejam superfícies de translação. Além disso, os resultados apontam para a rigidez dos toros de Clifford como superfícies de translação mínimas e de curvatura média constante (CMC). Apresentamos ainda uma relação útil e interessante entre superfícies de translação na esfera e o espaço Euclidiano tridimensionais. Outro tema abordado neste trabalho é o da homogeneidade em variedades, isto é, a existência de isometrias que levem qualquer ponto de uma variedade a outro ponto da mesma. Mais especificamente, analisamos a classificação das hipersuperfícies extrinsecamente homogêneas e suas folheações, as quais aparecem como órbitas de ações isométricas transitivas à esquerda de subgrupos do grupo de isometrias das variedades em questão. Consideramos ainda as classificações entre grupos unimodulares e não unimodulares, no contexto de grupos de Lie tridimensionais. Tal classificação nos permite apresentar exemplos de superfícies totalmente geodésicas e mínimas, além, é claro, de fornecer, como consequência da homogeneidade, exemplos de superfícies de curvatura média constante (CMC).