Geometria não-comutativa e teoria de campos simplética

Abstract

Neste trabalho, utiliza-se operadores-estrela definidos a partir do produto de Weyl em geometria não comutativa, para estudar representações unitárias para os grupos de Galilei e de Poincaré. Mediante o estudo da álgebra de Galilei-Lie, fica construído um formalismo auto-contido para a mecânica quântica no espaço de fase. Para testar a consistência do formalismo, alguns resultados são obtidos, tais como a equação de continuidade. E buscando a aplicabilidade, problemas de autovalores da equação de Schroedinger no espaço de fase são discutidos, como o oscilador harmônico e o potencial de Liouville. No contexto do estudo do grupo de Poincaré, escreve-se as equações de Klein-Gordon e de Dirac no espaço de fase, escrevendo também as lagrangianas e correntes conservadas para estes dois campos. Para os campos estudados aqui, as quantidades conservadas são deduzidas via o teorema de Noether no espaço de fase. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

In this work, it is used star operators defined from the Weyls product of the noncommutative geometry, to study unitary representations for the Galilei and Poincaré groups. By the study of the Galilei Lie algebra, a self-contained formalism is built for quantum mechanics in phase space. In order to test the consistency of the formalism, some results are obtained, such as the continuity equation. As applications problems of eigenvalues of the Schroedinger equation is discussed in phase space, as the harmonic oscillator and the Liouville potential. In this context of phase space, we study the Poincaré group, deriving the Klein Gordon and Dirac equation, as well as their respective lagrangian densities. For the fields studied here, the conservation law are derived by using the Noether theorem in phase space.