Hipersuperfícies Weingarten de tipo esférico em formas espaciais

Abstract

Neste trabalho, usando congruências de esféras geodésicas, estendemos os resultados obtidos em [28] para hipersuperfícies em formas espaciais, isto é, generalizamos a parametrização obtida por Machado em [28] no espaço Euclidiano (n + 1)-dimensional, para hipersuperfícies Σ nas formas espaciais M^{n+1}(c), c = 0, ±1. Caracterizamos as hipersuperfícies de M^{n+1}(c) que são envelopes de uma congruência de esferas geodésicas em M^{n+1}(c) na qual o outro envelope está contido em M^{n}(c) ⊂ M^{n+1}(c). Mostramos que esta caracterização nos permite obter hipersuperfícies Σ ⊂ M^{n+1}(c) localmente associadas a M^{n}(c) por uma transformação de Ribaucour e construimos superfícies de Dupin parametrizadas por linhas de curvatura associadas a M^{3}(c), c=±1, por uma transformação de Ribaucour. Apresentamos duas generalizações das superfícies de tipo esférico estudadas por [32], a saber as hipersuperfícies Weingarten de tipo esférico e as hipersuperfícies de tipo esférico em formas espaciais M^{n+1}(c). Obtemos uma caracterização dessas hipersuperfícies que nos permite mostrar que a classe de hipersuperfícies Weingarten de tipo esférico e de tipo esférico coincidem no caso bi-dimensional. Caracterizamos as hipersuperfícies de rotação de tipo esférico em M^{n+1}(c) usando funções radiais. Também, classificamos as hipersuperfícies Weingarten de tipo esférico e de rotação de tipo esférico a traves de funções radiais dadas explicitamente. Finalmente, damos uma caracterização das hipersuperfícies de tipo esférico em M^{n+1}(c).