Não-localidade e formação de padrão na equação de Fisher-Kolmogorov

Abstract

Nesta tese, vamos estudar a contribuição de termos não-locais em fenômenos de formação de padrão a partir da equação de Fisher-Kolmogorov. Primeiramente, vamos analisar a equação de Fisher-Kolmogorov com dinâmica convectiva para campos de velocidades estáticos e espacialmente variáveis, onde o termo de competição é não-local. Neste caso, estudamos as estruturas de formação de padrão desta equação analiticamente (pelo método perturbativo) e numericamente (pelo método Operator Splitting). Para campos anisotrópicos, obtemos uma relação matemática entre as velocidades críticas e os correspondentes comprimentos de interação que resultam na curva de transição de fase "Padrão - Sem Padrão" no sistema. Nós mostramos que esta curva tem um comportamento tipo campo médio , onde e . Na segunda parte desta tese, realizamos uma extensão da equação de Fisher-Kolmogorov incluindo um termo de crescimento não-local que representa típicos processos de difusão de longo alcance. Nesta abordagem, a análise da formação de padrão é simplificada para apenas dois parâmetros: o comprimento de correlação e o comprimento de interação . Nós mostramos que a existência de padrão é dada pela condição restrita . Analisando dados experimentais para a formação de padrão da bactéria Escherechia Coli, nós verificamos que a relação é de fato obedecida, indicando que este modelo é apropriado para a descrição do fenômeno formação de padrão. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

In this thesis, we study the contribution of nonlocal terms in pattern formation phenomena by using by using the Fisher-Kolmogorov equation. Firstly, we analyse the Fisher equation with convective dynamics for both static and variable velocity field, where the term of competition becomes nonlocal. In this case, we will study the pattern structures of this equation analytically (by the perturbation method) and numerically (by the Operator Splitting method) for specific anisotropic velocity fields v(x). For the anisotropic velocity field case, we obtain a mathematical relationship between the critical velocities v0c and the length of interaction μ which result in the curve of phase transition “Pattern-No Pattern”in this system. We show that this curve behaves as a mean-field model v0c(μ) = (μ − μc) in which β = 0.45 and μc = 0.49. In the second part of the thesis, we extend the Fisher-Kolmogorov equation to include a nonlocal growth term which represent typical processes of long range diffusion. In this approach, the analysis of pattern becomes simplified through two parameters: the correlation length α and the domain of interaction μ We show that the existence of pattern is restricted by the condition μ > α. Analyzing experimental data for pattern formation of bacterial Escherechia Coli we verify that the relation μ > α is indeed obeyed, indicating that this model is suitable for description of pattern formation phenomena.