As álgebras associativas fortemente Lie nilpotentes

Abstract

Sejam K um anel associativo comutativo unitário e A uma K -álgebra associativa unitária. Definimos a série {T(n )( A)}n≥1 de ideais bilaterais em A por T(1) (A)=L(1)( A)=A e T(n)( A)=A L(n)( A) A(n≥2) , onde L(n)( A) é o K - submódulo de A gerado por todos os comutadores [a1 ,…,an ] , onde ai ∈ A , para cada i . Definimos a série central inferior {R(m)( A)}m≥ 0 de ideais bilaterais de A indutivamente por R(0)( A)=A e R(m)( A)=A[R(m−1) (A), A] A(m≥ 1) . Dizemos que a álgebra A é Lie nilpotente de classe no máximo c, se L(c+1)( A)=\{0 \} e, dizemos que A é fortemente Lie nilpotente de classe no máximo c, se R(c)( A)=\{0 \} . Observamos que L(n+1)( A)⊆ R(n)( A) , logo cada álgebra A que é fortemente Lie nilpotente, também é Lie nilpotente. Porém, a recíproca, em geral, não é verdadeira. Sejam F um corpo e F⟨ X⟩ a F -álgebra associativa unitária livre, livremente gerada por um conjunto X. É conhecido que o subespaço dos polinômios centrais C(E) da álgebra de Grassmann de dimensão infinita E sobre um corpo de característica p>2 não é um T -subespaço finitamente gerado de F⟨ X⟩ . Como E é Lie nilpotente de classe 2, o T -subespaço dos polinômios centrais de uma álgebra Lie nilpotente pode não ser finitamente gerado. No presente trabalho demonstramos que isso não pode acontecer se a álgebra for fortemente Lie nilpotente. O nosso primeiro resultado principal é o seguinte: o T - subespaço C(B) dos polinômios centrais de uma F -álgebra associativa unitária fortemente Lie nilpotente B é sempre finitamente gerado (como T -subespaço de F⟨ X⟩ ). Sejam K um anel associativo comutativo unitário e K ⟨X⟩ a K -álgebra associativa unitária livre, livremente gerada por um conjunto X . Consideremos R(m)(K ⟨X⟩)(m≥0) e T(n )(K ⟨X ⟩)(n≥ 1) como definido anteriormente. Por conveniência de notação, quando X=X3=\{ x1 , x2 , x3 \} , então escrevemos R3 (m) e T3 (n) para representar R(m)(K ⟨ X3⟩) e T(n)(K ⟨ X3⟩) respectivamente. O segundo resultado principal do presente trabalho é o seguinte: R3 (n)=T3 (n+1) , para todos n≥0 . Essa igualdade permite dar uma demonstração mais simples de um resultado recente de Kuzmin e Pchelintsev.