Hipersuperfícies conformemente planas em R4 e superfícies planas helicoidais em H3

Abstract

Estudamos classes de hipersuperfícies conformemente planas associadas a soluções invariantes por um grupo de simetria das equações de Lamé com a condição de Guichard. Mostramos que os grupos de simetria deste sistema de equações diferenciais são dados por translações e dilatações nas variáveis independentes e dilatações nas variáveis dependentes. Além disso, obtemos as soluções invariantes pelo grupo de translação. A partir dessas soluções, usamos os resultados de Hertrich-Jeromin para obter as hipersuperfícies conformemente planas e descrever as redes de Guichard correspondentes. Obtemos parametrizações explícitas de hipersuperfícies conformemente planas geradas a partir de superfícies planas no espaço hiperbólico H3 e na esfera S3. Mais ainda, mostramos que associada a uma solução dada em termos de funções de Jacobi elípticas existe uma nova classe de hipersuperfícies conformemente planas. Quanto às redes de Guichard correspondentes, mostramos que suas superfícies coordenadas tem curvatura Gaussiana constante, e a soma das três curvaturas é igual a zero. Além disso, as redes de Guichard são folheadas por planos com curvatura Gaussiana nula e curvatura média constante. Mostramos que a superfície plana em H3 possui primeira forma fundamental determinada por uma função linear. Em geral, uma superfície plana em H3 é determinada por uma função harmônica, assim como por dados meromorfos. Uma classificação completa de superfícies planas helicoidais em H3 é obtida em termos de suas aplicações de Gauss hiperbólicas e por funções harmônicas lineares. Incluímos uma família de exemplos que fornece a classificação das superfícies planas helicoidais. Mais ainda, mostramos que uma superfície plana em H3 correspondente a uma função harmônica linear é localmente congruente a uma superfície helicoidal ou ao “peach front". _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

We study classes of conformally flat hypersurfaces associated to solutions invariant by a symmetry group of Lamé's Equation satisfying the Guichard condition. We show that the symmetry group of such system of differential equations are given by translations and dilations in the independent variables and dilations in the dependents variables. Moreover, we obtain the solutions invariant solutions by the translation group. From these solutions, we use the results due to Hertrich-Jeromin in order to obtain the conformally flat hypersurfaces and describe the corresponding Guichard nets. We obtain explicit parametrizations of conformally flat hypersurfaces that are generated from at surfaces in the hyperbolic spaces H3 and in the sphere S3. Moreover, we show that associated to a solution, given in terms of Jacobi elliptic functions, there exists a new class of conformally flat hypersurfaces. With respect to the corresponding Guichard net, we show that their coordinate surfaces have constant Gaussian curvature, and the sum of the three curvatures is equal to zero. Moreover, the Guichard nets are foliated by at planes with constant mean curvature. We show that the at surface in H3 has its first fundamental form determined by a linear function. In general, a flat surface in the hyperbolic space H3 is determined by a harmonic function, as well as by its meromorphic data. A complete classification of the helicoidal flat fronts is given in terms of their hyperbolic Gauss maps as well as by means of linear harmonic functions. A family of examples which provides the classification of the helicoidal flat fronts is included. Moreover, it is shown that a flat surface in H3, that corresponds to a linear harmonic function, is locally congruent to a helicoidal flat front or to a “peach front".