A geometria Riemanniana das superfícies quânticas : o caso do AdS2

Abstract

Esta tese tem como objetivo construir rigorosamente uma estrutura algébrica que possua as propriedades geométricas do espaço anti-de Sitter bidimensional, por meio da quantização das coordenadas do hiperbóloide que o define. Primeiramente, são definidos os principais objetos matemáticos necessários para esta tarefa, seguidos pela formalização de um análogo ao cálculo diferencial e integral sobre a álgebra construída. Com essas ferramentas, são definidos dois módulos principais: um análogo ao espaço tangente e seu respectivo dual. Também é introduzida uma forma Hermitiana, que serve como a métrica do espaço, e seu inverso é explicitamente construído. Com esses elementos fundamentais, desenvolve-se um cálculo pseudo-riemanniano para variedades algébricas, permitindo o cálculo dos símbolos de Christoffel, curvatura, Laplaciano, vetores de Killing e a definição de autofunções algébricas, facilitando assim a integração na superfície quântica. A tese também discute a não unicidade de algumas construções e a estrutura algébrica precisa necessária para garantir que a ordenação dos elementos não comutativos produza resultados consistentes com a quantização, alcançada por meio da deformação do bracket de Poisson clássico.

Além disso, um código de computador é desenvolvido como uma ferramenta computacional para objetos não comutativos, simplificando o cálculo de quantidades relacionadas a superfícies não comutativas dentro deste formalismo.