Produto entrelaçado como subgrupo de automata-grupo

Abstract

O grupo de automorfismos Am da árvore m-regular com uma raíz Tm é identificado com o produto entrelaçado Am ≀Y Sm, onde Y = {1,...,m}. Um subgrupo G de Am é finito por estado se dado α = (α1,...,αm)σ ∈ G, Q(α) é finito, onde Q(α) = {α} ∪Q(α1)∪ ··· ∪ Q(αm) é o conjunto de estados de α. E G é autossimilar se para todo α ∈ G, tivermos Q(α) ⊂ G. Um grupo finitamente gerado é um autômata-grupo se for autossimilar e finito por estado. Desenvolveremos resultados para obtenção de imersões em autômata-grupos de grupos do tipo A ≀ G, onde A é um grupo abeliano finitamente gerado e G é um subgrupo de um autômata-grupo. Em particular, obtemos representações dos grupos C2 ≀(C2 ≀Z), Z≀(C2 ≀Z), C2 ≀(Z≀Z) e Z≀(Z≀Z). Para o caso do grupo Z≀(Z≀Z), provamos que ele é subgrupo de um autômata-grupo gerado por um alfabeto de duas letras, respondendo afirmativamente o Problema 15.19 - (b) do Kourovka Notebook propostos por A. M. Brunner e S. Sidki em 2002. [6, 17]