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Título: Construindo transformadas finitas usando a Teoria de Sturm--Liouville
Setting up finite transforms using Sturm--Liouville Theory
Autor(es): Rispoli, Vinicius Carvalho
Amorim, Ronni
Nunes, Ana Paula Castro
Assunto: Equação do Calor
Problema de Sturm--Liouville
Transformada Integral
Transformada Finita
Data de publicação: 2018
Editora: Sociedade Brasileira de Física
Referência: RISPOLI, Vinicius Carvalho; AMORIM, Ronni; NUNES, Ana Paula Castro. Construindo transformadas finitas usando a Teoria de Sturm--Liouville. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, v. 40, n. 4, e4301, 2018. DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2017-0386. Disponível em: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172018000400402&lng=en&nrm=iso. Acesso em: 28 jan. 2019. Epub May 14, 2018.
Resumo: Problemas de valores inicial e de contorno são muito comuns na Física, Matemática e Engenharia. Eles podem modelar diversos tipos de problemas relacionados a difusão de calor e a vibração de membranas, por exemplo. Quando se deseja encontrar a solução analítica desses problemas podemos encontrar dificuldades extras quando as equações e também as condições de contorno que descrevem os fenômenos são não-homogêneas. Desta forma, neste trabalho apresentamos uma técnica de solução de problemas de valores iniciais e de contorno por meio de transformações integrais. O diferencial da apresentação está na construção da transformada integral apropriada à solução do problema. Essas transformadas são conhecidas como transformadas finitas e neste caso elas estão relacionadas a um problema de Sturm–Liouville associado com o operador diferencial ligado à equação diferencial. Como exemplo do desenvolvimento e aplicação da ferramenta, resolvemos dois problemas de difusão de calor em coordenadas espaciais distintas. A apresentação do trabalho segue de forma pedagógica e autocontida. Sendo assim, esperamos que o leitor compreenda a técnica e possa utilizá-la na resolução de outros problemas envolvendo equações diferencias parciais.
Abstract: Initial and boundary value problems are very common in physics, mathematics, and engineering. They can model many types of problems related to heat diffusion and membrane vibration, for example. When the analytical solution of these problems is needed one may find extra difficulties when the boundary conditions that describe the phenomena are nonhomogeneous. In this way, in this work is presented a technique for solving initial and boundary problems by means of integral transformations. The differential of the presentation is in the construction of the integral transform appropriate to the solution of the problem. These transformations are known as finite transforms and in this case they are related to a Sturm--Liouville problem associated with the differential operator connected to the differential equation. As an example, we solve two problems of heat diffusion in different spatial coordinates systems. The presentation of the work follows in pedagogically and self-contained fashion. Therefore, we expect the reader to understand the technique and can use it in solving other problems involving partial differential equations.
Licença: Licença Creative Commons
DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2017-0386
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