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Título: Sobre grupos finitos e profinitos quase Engel
Autor(es): Rodrigues, Sara Raissa Silva
Orientador(es): Acciarri, Cristina
Assunto: Grupos profinitos
Comutadores
Subgrupo de fitting
Grupo Engel
Data de publicação: 25-Abr-2017
Data de defesa: 22-Fev-2017
Citação: RODRIGUES, Sara Raissa Silva. Sobre grupos finitos e profinitos quase Engel. 2017. xiii, 92 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)—Universidade de Brasília, Brasília, 2017.
Resumo: Um grupo G é chamado um grupo Engel se para todos x e g em G a identidade [x, g, . . . , g] = 1 vale em G, onde g é repetido no comutador um número suficiente de vezes que depende de x e g. É bem conhecido que qualquer grupo localmente nilpotente é um grupo Engel. Mas, a recíproca não vale em geral. No entanto, em [26] J. S. Wilson e E. I. Zelmanov provaram que todo grupo profinito Engel ´e localmente nilpotente.Dados um elemento g em G e um inteiro positivo n, seja En(g) o subgrupo gerado por todos os comutadores [x, g, . . . , g] onde, x varia em G e g é repetido n vezes. Esta dissertação está baseada no artigo Almost Engel finite and profinite groups [13] de E. I. Khukhro e P. Shumyatsky. Mostramos que se G é um grupo profinito tal que, para todo g em G existe um inteiro positivo n = n(g) com a propriedade que En(g) é finito, então G possui um subgrupo normal finito N tal que G/N ´e localmente nilpotente. Um resultado da mesma natureza e de tipo quantitativo ´e provado para um grupo finito G, deduzindo informações sobre a ordem do subgrupo residual nilpotente γ(G) de G.
Abstract: A group G is called an Engel group if for every x and g in G the equation [x, g, . . . , g] = 1 holds in G, where g is repeated in the commutator sufficiently many times depending on x and g. It is well known that any locally nilpotent group is an Engel group, but the converse does not hold in general. However, in [26] J. S. Wilson and E. I. Zelmanov proved that any Engel profinite group is locally nilpotent. Given an element g in G and a positive integer n, let En(g) be the subgroup generated by all commutators [x, g, . . . , g] over x in G, where g is repeated n times. This master’s dissertation is based on the article Almost Engel finite and profinite groups [13] of E. I. Khukhro e P. Shumyatsky. It is shown that if G is a profinite group such that, for every g in G there is a positive integer n = n(g) such that En(g) is finite, then G has a finite normal subgroup N such that G/N is locally nilpotent. A similar result of quantitative nature holds for a finite group G, and it gives information about the order of the nilpotent residual subgroup ɣ(G) of G.
Descrição: Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017.
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