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Título: Superálgebras de Lie fractais de crescimento linear
Autor(es): Costa, Otto Augusto de Morais
Orientador(es): Petrogradskiy, Victor
Assunto: Lie, Álgebra de
Álgebra
Data de publicação: 12-Abr-2017
Data de defesa: 7-Dez-2016
Referência: COSTA, Otto Augusto de. Superálgebras de Lie fractais de crescimento linear. 2016. 101 f., il. Tese (Doutorado em Matemática)—Universidade de Brasília, Brasília, 2016.
Resumo: Os grupos de Grigorchuk e Gupta-Sidkides empenham um papel fundamental na teoria de grupos moderna, pois são exemplos naturais de grupos periódicos finitamente gerados autos similares. Neste trabalho, construímos exemplos análogos aos grupos referidos no campo das super álgebras de Lie. Em 2006, Petrogradsky construiu exemplos análogos para álgebras de Lie restritas em característica 2.Shestakov e Zelmanov estenderam essa contrução para característica positiva arbitrária, dando um exemplo de algebra de Lie restrita finitamente gerada com p-aplicação nil. Martinez e Zelmanov provaram que, sobre um corpo de característica zero, não é possível construir exemplos de algebras de Lie análogas aos grupos de Grigorchuk. Neste trabalho, mostramos que a extensão desse resultado para super álgebras de Lie em característica zero não é válida. Em qualquer característica, construímos uma superálgebra de Lie R com as seguintes propriedades.R tem uma Z²- graduação apropriada tal que todo elemento homogêneo é ad-nilpotente. Além disso, R tem crescimento linear e sua envoltória associativa tem crescimento quadrático. Para uma característica positiva arbitrária p, construímos também exemplos de álgebras de Lie restritas fractais de crescimento linear cujas envoltórias associativas possuem crescimento quadrático.
Abstract: The Grigorchuk and Gupta-Sidki groups play fundamental role in modern group theory because they are natural examples of self-similar finitely generated periodic groups. In this work we construct their analogue in the world of Lie superalgebras. In 2006, Petrogradsky made an analogous construction for restricted Lie algebras in characteristic 2. Next, Shestakov and Zelmanov extended this construction to an arbitrary positive characteristic, giving an example of finitely generated restricted Lie algebra with a nil p-mapping. Martinez and Zelmanov proved that similar examples do not exist for Lie algebras in characteristic zero. In this work we show that an extension of this result for Lie superalgebras in characteristic zero is not valid. Namely, we construct a Lie superalgebraR with the following properties. We prove thatR has a fine Z²-gradation and it is nil graded. Furthermore, R has linear growth and their associative hulls have quadratic growth. For an arbitrary positive characteristic p, we also construct examples of fractal restricted Lie algebras. These algebras have linear growth and its associative hull has quadratic growth.
Informações adicionais: Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016.
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