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Please use this identifier to cite or link to this item: http://repositorio.unb.br/handle/10482/21440
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Title: O operador de Ruelle em espaços de estados compactos
Authors: Silva, Eduardo Antonio da
Orientador(es):: Cioletti, Leandro Martins
Assunto:: Álgebra
Teorema de Perron Fröbenius
Método do Operador de transferência
Issue Date: 19-Sep-2016
Citation: SILVA, Eduardo Antonio da. O operador de Ruelle em espaços de estados compactos. 2016. 116 f., il. Tese (Doutorado em Matemática)—Universidade de Brasília, Brasília, 2016.
Abstract: Recentemente o Teorema de Perron Fröbenius foi provado para potenciais Hölder definidos no espaço simbólico, onde o alfabeto é um espaço métrico compacto qualquer. Nesta tese estendemos este teorema para potenciais definidos no espaço de Walters , em alfabetos similares. No resultado acima seguimos de perto o trabalho original [48], as diferenças principais da demonstração moram em argumentos a respeito do suporte da medida a priori. Descrevemos em detalhes um procedimento abstrato para obter a analiticidade no sentido de Fréchet do operador de Ruelle sob condições bastantes gerais e usamos isso para obter a dependência analítica desse operador em ambos os espaços e. Este resultado é importante pois está intrinsecamente relacionado com a analiticidade da pressão. Para este fim foi necessário estabelecer em uma estrutura de álgebra de Banach, bem como sua invariância pelo operador de Ruelle. Esses resultados são novos tanto no contexto de espaço de estados compactos quanto no contexto de espaços de estados finitos. A regularidade do funcional pressão é de grande interesse pois tem relação indissociável com transição de fase. Neste trabalho estabelecemos a analiticidade do funcional pressão no espaço dos potenciais Hölder. Nesta demonstração é usado de modo fundamental que para potenciais Hölder o operador de Ruelle possui a propriedade do buraco espectral. Um decaimento exponencial de correlações é provado quando o operador de Ruelle tem a propriedade do buraco espectral. Uma nova (e natural) família de potenciais na classe de Walters (em um alfabeto finito derivada do modelo de Ising) não possuindo um decaimento exponencial de correlações é apresentada. A idéia por trás desse resultado é usar o dicionário estabelecido em [9] entre o formalismo termodinâmico e o modelo de Ising para usar fortemente as desigualdades de Griffiths-Kelly- Sherman, já estabelecidas no contexto da mecânica estatística para mostrar um exemplo, também conhecido pela comunidade da mecânica estatística, com decaimento superpolinomial de correlações. Devido à ausência de decaimento de exponencial de correlações temos por conseguinte a ausência do buraco espectral para o operador de Ruelle. A sistemática acima também fornece uma nova abordagem para a obtenção de exemplo de decaimento de correlações, que não pode ser recuperado pelos resultados apresentados em [42] a respeito de decaimentos de correlações subexponenciais nem do trabalho de Gouëzel em [25], que generaliza o anterior. ________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT
Recently the Ruelle-Perron- Fröbenius theorem was proved for Hölder potentials defined on the symbolic space , where (the alphabet) M is any compact metric space. In this thesis, we extend this theorem to the Walters space , in similar general alphabets. In the above result we follow closely [48], the main differences of the proof are in the argument respecting the support of the a priori measure. We also describe in detail an abstract procedure to obtain the Fréchet-analyticity of the Ruelle operator under quite general conditions and we apply this result to prove the analytic dependenceof this operator on both Walters and Hölder spaces. This result is important, because is closely related with the regularity of the pressure. To this end it was necessary establish in a Banach algebra structure, as well as its invariance by the Ruelle operator. These results are new in both contexts, finite or general compact space of states. The regularity of the pressure functional is of great interest since it is closely related with the phase transition. In this work we establish the analiticity of the pressure functional on the Holder spaces. In the proof it is used in a fundamental way the presence of the spectral gap. An exponential decay of the correlations is shown when the Ruelle operator has the spectral gap property. A new (and natural) family of Walters potentials (on a finite alphabet derived from the Ising model) not having an exponential decay of the correlations is presented. The idea behind this result is to use the dictionary established in [9] between the termodinamic formalism and the Ising model in order to apply the Griffiths-Kelly- Sherman inequalities to obtain a superpolynomial decai correlation.Because of the lack of exponential decay, for such potentials we have the absence of the spectral gap for the Ruelle operator.
Description: Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016.
Licença:: A concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.
Agência financiadora: Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro do CNPq.
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